如果孩子带回一道应用题，你的第一反应是用代数来解，那你并不孤单。许多家长在学校学的是「设 x 为……」，但新加坡小学教的是建模法（bar model method）。它把文字变成长方形，让孩子在动手计算之前，先看清各个数量之间的关系。
这份实用指南会介绍建模法的原理，通过完整的例题讲解四种常见类型，并提供在家辅导孩子、又不直接给答案的技巧。孩子的老师最清楚班上是怎样画模型的，如果你发现有些画法和这里不同，不妨问问老师。
学校为什么用建模法
应用题之所以难，不在于计算，而在于孩子必须读懂题目到底在说什么。建模法的帮助在于：
- 让关系一目了然。「是……的三倍」就变成三段相等的长条与一段长条并排。
- 为代数打基础。模型中的「一个单位」，正是孩子日后在中学遇到的未知数的温和前身。
- 让孩子放慢速度。画图迫使他们仔细读每一句，而不是抓几个数字随便猜一个运算。
- 答案可以验证。孩子可以拿答案回头对照图来检查。
建模法通常从小学低年级开始出现，到高年级越来越复杂。孩子画得粗糙也不用担心。整洁与否，远不如标注准确重要。
解任何应用题的基本步骤
教孩子一套每道题都能重复使用的流程：
- 先把整道题读一遍。先别画图，只要弄懂题目的情境。
- 找出谁或什么在被比较。把名字写在纸的左侧。
- 画出长条。从了解最少的那个数量开始，通常把它画成 1 个单位。
- 一句一句地加入信息。每一条长条、每一个括号都要标注。
- 标出问号。清楚显示题目要求的是什么。
- 先求 1 个单位，再求答案。算出 1 个单位的值，再以此推算。
- 检查。把答案代回题目情境，看看是否合理。
四种常见的建模类型
| 模型类型 | 题目中的提示词 | 画法 |
|---|---|---|
| 部分与整体 | 「altogether」（一共）、「in total」（总共）、「the rest」（其余） | 一条长条分成几部分，用括号标出总数 |
| 比较 | 「more than」（比……多）、「fewer than」（比……少）、「times as many」（是……的几倍） | 几条长条左端对齐分开画，并标出差额 |
| 前后变化 | 「gave away」（送出）、「then」（然后）、「in the end」（最后） | 画两组长条，一组表示开始，一组表示结束 |
| 分数 | 「spent 2/5 of」（花了……的 2/5）、「the remainder」（剩下的） | 一条长条按分母平均分成若干份 |
下面每种类型各举一个例题。
部分与整体：几倍关系
阿里的弹珠是阿明的 3 倍。他们一共有 48 颗弹珠。阿里有多少颗弹珠？
- 把阿明的长条画成 1 个单位。
- 把阿里的长条画成 3 个相等的单位，每个单位与阿明的一样长。
- 用括号把两条长条括起来，标上 48。
- 4 个单位 = 48，所以 1 个单位 = 12。
- 阿里有 3 个单位：3 x 12 = 36 颗弹珠。
- 检查：36 + 12 = 48，而且 36 是 12 的 3 倍。
比较：比……多
莎拉比美美多 $25。她们一共有 $95。美美有多少钱？
- 把美美的长条画成 1 个单位。
- 把莎拉的长条画成 1 个单位，再加上标注 $25 的额外一段。
- 用括号标出总数：$95。
- 去掉额外的一段：$95 减 $25 = $70，即 2 个相等的单位。
- 1 个单位 = $35。美美有 $35，莎拉有 $60。
- 检查：$35 + $60 = $95，而且 $60 比 $35 多 $25。
前后变化：送出东西
小俊的贴纸是小凯的 2 倍。小俊送给小凯 15 张贴纸后，两人的贴纸一样多。小俊原来有多少张贴纸？
- 之前：小俊有 2 个单位，小凯有 1 个单位，相差 1 个单位。
- 小俊给小凯 15 张，所以小俊少了 15 张，小凯多了 15 张，差距缩小 30。
- 既然最后一样多，原来的差距一定是 30，所以 1 个单位 = 30。
- 小俊原来有 2 个单位：60 张贴纸。
- 检查：小俊 60 减 15 = 45，小凯 30 + 15 = 45，一样多。
这类题让很多孩子出错，因为他们忘了送出东西会同时改变两条长条。把「之前」和「之后」的长条上下对齐来画，就能一目了然。
分数：花费与剩余
莉娜用她的钱的 2/5 买了一本书，还剩 $36。她原来有多少钱？
- 画一条长条，平均分成 5 份。
- 把其中 2 份涂上阴影，标为「书」。其余 3 份是「剩下的」，标上 $36。
- 3 份 = $36，所以 1 份 = $12。
- 5 份 = $60。莉娜原来有 $60。
- 检查：$60 的 2/5 是 $24，$60 减 $24 = $36。
家长在家辅导的技巧
你的角色是引导思考，而不是替孩子思考。以下习惯会有帮助：
- 多提问，少告诉。「谁比较多？」「『altogether』告诉你什么？」「哪条长条应该更长？」
- 让孩子先画。即使模型画错了，也能让你看出误解在哪里。
- 年幼的孩子用实物。先用乐高积木或纸条让「单位」变得可以摸得到，再过渡到纸上画图。
- 坚持标注。很多错误来自没有标注的长条，孩子会搞混哪条代表哪个数量。
- 单位要画得一样长。如果一个单位画得比另一个长很多，图就会误导人。
- 一次只练一种类型。先掌握部分与整体，再练前后变化，有助于建立信心。
- 肯定解题过程。即使计算出了小错，也要称赞画得清楚的模型。
- 不要太早教代数捷径。学校在小学阶段通常期望孩子画模型，换一种方法可能让孩子混淆，在需要写出解题过程时还可能被扣分。如有疑问，请向老师确认。
如果孩子一做应用题就沮丧或卡住，先退一步。我们的克服数学焦虑指南有一些让练习保持轻松的方法；如果担忧持续，老师或学校辅导员也能提供帮助。
常见错误及纠正方法
- 从错误的长条开始画。教孩子从最小或了解最少的数量开始，把它当作 1 个单位。
- 弄反了「more than」的方向。问孩子：「谁比较多？那就把那条画长一点。」
- 忘了两边都会变。在转移类题目中，实际在一条长条上划掉、在另一条上加上。
- 混淆单位与份数。当两个问题使用大小不同的单位时，在孩子熟练之前，清楚地分别标为「u」和「p」。
- 答非所问。把最后的问题圈出来，并在图上用问号标出。
循序渐进建立信心
建模法是一项技能，而不是一种窍门。每周几次短时间练习，每次一两道题，通常比周末长时间集训更有效。把新题型和熟悉的题型混着练，几天后再回顾做错的题，并请孩子向你讲解他们画的图。能讲清楚，是真正理解的最好标志之一。
想了解更多复习和学习习惯的方法，可参阅我们的在新加坡如何学好数学和帮助孩子提升数学与学习技巧指南。
官方资料： 教育部（MOE）